3.2  洛仑兹变换公式

 

    本书采用初等几何学方法推导,简单直观。

 

1. 坐标系旋转不变量

 

下图中,矢量OA的模是坐标系旋转不变量。

x, y)与(x′,y′)的变换关系已在附录A中推导出。它们的变换关系式为

             3

             4
 

                                                   

上面公式中,xx′的关系,将用于推导洛仑兹变换。

 

2. 推导洛仑兹变换公式

 

为了应用上面的公式,须使ct变为正值,故设

               6

于是

不变式的形式从A2B2 变为x2u2

借用坐标系旋转不变量的公式,用下面的方法求出洛仑兹变换公式。

对于x2u2 公式(3)和(4)式变为

            7

            8
 

现在,我们看一种特殊情况。在图8中,光矢OA的方向几乎与YY′)轴平行,这时可以近似地把A点看作是在Y轴上,于是有近似关系:

                9

把(9)式代入(7)式中,求出

               10


把(6)和(9)式代入(10)式中,得到

                  11


再把(11)代入(5)式中,(5)式变为

     

 


把上面两个式子代入(7)和(8)中,得到

                 12

                 13




最后把
u还原为t,即
 代入上式,导出

                14

               15




公式(
14)和(15)是洛仑兹变换公式。当S系沿OX轴逆向运动时,而且光源也是沿OX


轴逆向运动时,如图9所示。

应用相同的推导方法,仍然可以得到公式(14)和(15)。很明显,只要光源的运动方向与光的发射方向相同,就会得到光影收缩的结果。

 

3. 光影膨胀的公式

 

如果光源的运动方向与光波的发射方向相反,如图10所示,则有

      

上面的结果是S系中的观测者,在自已的S系中观测到的。相当于S系的光影比S系中的光影大,即光影膨胀。

光影收缩或膨胀都是相对论效应,并不代表本征值的实际变化。从图9和图10看出,光源的运动方向和光波的发射方向,将影响观测的结果,但是这个结果只具有理论意义。

类似于前一节的推导方法,可以求出公式(16)和(17)如下:

                   16

                  17



实际上,只须把
xvt)换成(x+vt)

上面的公式说明,光源的运动方向和光的发射方向对观测结果有影响。把上面几个公式合在一起,为

                  18

                 19



    重要提示:我们能够观测到光影的收缩和膨胀吗?我们不能。一方面,坐标的绝对值没有测量的可操作性,即没有可观测性。另一方面,上面的公式只具有理论意义,因为它们是抽象时空中的量。我们将设法从上面的公式,导出具有可观测意义的相对量(第
4章)。